友人發來一段子，閱后甚覺有趣：“某地區進行全民核酸檢測，一哥們兒在檢測后一直未收到結果報告，于是情急之下去電催問。得到的回復是：若不單獨通知你，就是沒事兒；若有事兒，不僅要通知你，還要通知全國人民。”
段子的笑點顯然是催問之后得到的回復，而非催問者之驚慌。催問者的情急反應是可以理解的，畢竟無論結果好壞，人們總希望“靴子”及早落地。不過筆者揣測，催問者也許會進行如下一番推理而愈發感覺不安：疫情有所反彈，人們感染病毒的風險上升；如果檢測機構一旦發現檢測結果不好，就會展開進一步的核實工作，從而暫緩向受檢者通知檢測結果，那么自己一直未接到通知就意味著不幸“中招”的概率變得更大了。
倘若催問者真有此番推理，其實是挺理性的。然而，這種推理過程也隱藏一些很容易導致風險誤判的陷阱。在此需補充說明的是，即便收到通知，檢測結果仍存在“假陰性”或“假陽性”的可能。但為了簡化討論，我們不考慮這種可能性。
一、貝葉斯推理基本思想
上述推理，本質上就是統計學上著名的貝葉斯推理。貝葉斯推理由18世紀英國牧師托馬斯·貝葉斯最早提出，其基本思想是：我們在判斷事物存在的可能性時，首先要形成一個先驗概率判斷，然后根據新的信息對先驗概率判斷進行修正，最后形成一個后驗概率判斷。
例如，疫情反彈期人們感染病毒的風險較大，就是一個先驗概率判斷；催問者進行了病毒檢測但一直未收到關于結果的通知，就是新信息；基于新信息，催問者認為自己感染病毒的可能性變得更大了，就是一個后驗概率判斷。
貝葉斯推理既符合直覺也符合理性。但“魔鬼隱藏在細節中”，要通過此推理獲得正確的后驗概率判斷，須保證三大條件成立：
第一，一開始就要設定一個先驗概率；
第二，對先驗概率的判斷是正確的；
第三，根據新信息對先驗概率判斷所進行的修正是正確的。
不幸的是，大量研究表明，上述三大條件往往不成立，并相應形成如下三大推理陷阱。
二、陷阱①：忽略先驗概率
沒有先驗概率就沒有貝葉斯推理，先驗概率在貝葉斯推理中發揮基礎性的作用。段子中的催問者固然將因疫情反彈而意識到先驗概率的存在，亦會以之為基礎而進一步對風險做出判斷。但是，在很多決策判斷情景中，人們卻會忽略先驗概率。對此，社會心理學文獻提供了如下一個經典案例：
某城市的一輛出租車在午夜肇事后逃逸，一目擊者報告肇事車輛呈綠色。法庭測試了該目擊者在夜間辨別顏色的能力，發現他在80%的次數中能夠正確辨別各種顏色，在20%的次數中會混淆各種顏色。請問，給定目擊者的證言，肇事車輛呈綠色的概率有多大？
80%！大部分人會不假思索地報出答案。然而，若假設這個城市根本沒有綠色的出租車，則我們很容易發現這是一個錯誤的答案。這個城市根本沒有綠色的出租車，其數學上的含義是：肇事出租車呈綠色的先驗概率為0。在這種情況下，目擊者聲稱肇事車輛呈綠色，不過是錯誤辨別了顏色。
上述經典案例表明，人們傾向于忽略先驗概率，沒有意識到正確答案應該與先驗概率有關。有趣的是，有研究者發現，即使在提出上問題之前給出“根據各自所擁有出租車的顏色進行命名，有綠色公司與藍色公司在該城市運營，其中前者擁有15%的出租車”這種提示性信息，但大部分人會忽略15%這一先驗概率，仍然報出80%的錯誤答案。正確答案應為41.4%，這是一個基于先驗概率但又比其小的后驗概率。
本文旨在強調先驗概率是形成后驗概率判斷的基礎，而不具體解釋如何推導出正確的答案。行為經濟學大師卡尼曼與特沃斯基，將人們忽略先驗概率的傾向稱為“基礎概率謬誤”。有研究認為，人們之所以會陷入此謬誤，是因為感覺先驗概率與當下的判斷無關，或者先驗概率判斷所依據的信息對人們來說是“遙遠的、蒼白的、抽象的”，而人們所收到的新信息卻是“生動的、顯著的、具體的”。
三、陷阱②：誤判先驗概率
催問者即便意識到先驗概率及其重要性，然而能否正確判斷先驗概率的大小，卻是另外一回事。他原本可以通過權威信息渠道，獲得關于所處地區感染率的具體數據，并以之為基準形成對先驗概率的判斷。但社會心理學文獻表明，正確判斷先驗概率并非易事。尤其是在面對風險事件時，人們傾向于高估先驗概率，其主要原因有二：
第一，個體對事件的主觀情感反應常成為個體的決策依據。
雖然這有助于我們對潛在的危險做出迅速反應，但其經常導致對風險事件先驗概率的高估。例如，2005年一份研究顯示，在“瘋牛病”疫情結束幾年后，每當法國報紙將牛海綿狀腦病冠以“瘋牛病”而加以報道時，不少法國人就深感恐慌，進而高估人們感染這種疾病的概率，以致牛肉消費量會顯著下降。但若報紙報道的是牛海綿狀腦病，人們就平靜許多，而牛肉消費量也不會發生大的波動。其實，即使在“瘋牛病”疫情中，全法國也僅有6位確診者。換言之，個體感染“瘋牛病”的真實先驗概率遠比人們想象的小。
第二，個體對事件的主觀印象常成為個體的決策依據。
事件越容易被回想起來、越令人印象深刻，則其發生的先驗概率越容易被人們高估。一個經典例子是，2001年9·11事件對美國社會造成了很大沖擊。此后，很多美國人高估了飛機失事的概率，認為陸地旅行更安全。但據統計，在2003-2005年期間，美國人在出行同樣距離的情況下，遭遇致命車禍的概率是飛機失事的230倍。2006年有報告指出，每420萬次飛行才發生一次事故；對大多數飛機乘客而言，旅行期間最危險的旅程其實是驅車趕往機場的那一段路程。對此，社會心理學家戴維·邁爾斯評論道：“9·11事件的恐怖分子，以一種令人覺察不到的方式——在美國的公路上——殺死了更多人，多于他們所襲擊的那4架飛機上的乘客數。”
四、陷阱③：錯誤修正先驗概率
在貝葉斯推理中，基于新信息對先驗概率的修正遵循乘法法則。具體來說，后驗概率等于先驗概率乘上一個修正因子，而修正因子的取值主要由新信息所決定。例如，在段子中的催問者看來，如果存在因檢測結果不好而暫緩通知這種情況，那么“一直未接到通知”這個新信息就意味著修正因子的取值大于1。
但最后的回復表明，修正因子被他大大高估了。實際上，在“若有事兒，不僅要通知你，還要通知全國人民”的情況下，修正因子的真實值等于0。按照上述乘法法則，他完全可以放下心來，因為此時后驗概率等于0。不過，在事前不了解具體通知規則的情況下，催問者至少有理由認為修正因子是大于0的。
其實，修正因子到底小于1還是等于1，抑或大于1，才是催問者更關心的問題。若出現前兩種情況，則催問者就比較放心了，因為根據乘法法則，他感染病毒的后驗概率不會超過先驗概率。但若出現第三種情況，顯然他就很有必要提高警惕了。從數學原理上講，問題的答案取決于“在檢測結果不好條件下暫緩通知的概率（定義為a）”與“無特定條件下暫緩通知的概率（定義為b）”的相對大小——若a小于b，則修正因子小于1；若a等于b，則修正因子等于1；若a大于b，則修正因子大于1。
為理解上述原理，我們假定存在“暫緩通知檢測結果的情況總體上很少見，而一旦檢測結果不好就大概率暫緩通知”這種場景。此時，b很小，a較大，以致修正因子很可能大于1，進而將使得一直未接到通知的催問者形成判斷：自己感染病毒的后驗概率要高于先驗概率。在此，我們舉一個更通俗的例子來進行類比：假設總體上看，人體不太可能出現某種反應（b很小），但若人體感染上一種疾病，該反應大概率會出現（a很大）。那么，當某人的身體出現該反應時（新信息），我們無疑會推測，即便這種疾病很罕見（先驗概率很小），但此人已感染上這種疾病的可能性也許并不小（后驗概率較大）。
基于上述分析可知，如果催問者誤判了a與b的取值，就會形成一個錯誤的修正因子，進而導致基于新信息對先驗概率的修正出現錯誤。
五、結語
按照19世紀法國著名數學家拉普拉斯的觀點，“對于生活中的大部分，最重要的問題實際上只是概率問題。”“概率論本質上只是一些計算方面的常識。”然而，人類的大腦似乎天生就不擅長概率思考，常常會落入某些推理陷阱而誤判風險。承認問題是解決問題的第一步。在當前疫情有所反彈之際，我們必須堅持理性思維，仔細檢視自己對風險的判斷，力避盲目的恐慌或樂觀。
（作者姚耀軍為浙江工商大學金融學院教授）
